右図のような格子状の道がある地域で、A地点からB地点まで、以下の条件を満たす最短経路は何通りあるかを求める問題です。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

右図のような格子状の道がある地域で、A地点からB地点まで、以下の条件を満たす最短経路は何通りあるかを求める問題です。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合：

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に3回移動することに対応します。

したがって、8回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ場合の数、つまり組み合わせの数として計算できます。

${}_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) AからCを通ってBまで行く場合：

AからCまでの最短経路は、右に2回、上に2回移動することに対応します。

その場合の数は

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

CからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動することに対応します。

その場合の数は

${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$ 通りです。

したがって、AからCを通ってBまで行く場合の数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積になります。

$6 \times 4 = 24$

(3) AからCを通らずにBまで行く場合：

AからBまでの経路数から、AからCを通ってBまで行く経路数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路数が求められます。

$56 - 24 = 32$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く場合の数：56通り

(2) AからCを通ってBまで行く場合の数：24通り

(3) AからCを通らずにBまで行く場合の数：32通り