(1) 4つの文字 a, b, c, d から重複を許して7個取る組み合わせの総数を求めよ。 (2) $(a+b+c)^6$ の展開式の異なる項の数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 4つの文字 a, b, c, d から重複を許して7個取る組み合わせの総数を求めよ。

(2) $(a+b+c)^6$ の展開式の異なる項の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題です。4つの文字から7個選ぶ重複組み合わせの総数は、

$_{4}H_{7}$ で表されます。

重複組み合わせの公式は、$_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ です。

したがって、$_{4}H_{7} = _{4+7-1}C_{7} = _{10}C_{7}$ となります。

$_{10}C_{7}$ は $_{10}C_{3}$ と等しく、

$_{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ と計算できます。

(2) $(a+b+c)^6$ の展開式の一般項は $ka^lb^mc^n$ と表せます。ここで、kは係数、l, m, n はそれぞれa, b, cの指数を表します。

また、$l+m+n=6$ が成り立ちます。

したがって、異なる項の数は、0以上の整数l, m, n の組で $l+m+n=6$ を満たすものの個数と等しくなります。

これは重複組み合わせの問題であり、3種類の文字から6個選ぶ重複組み合わせの総数に等しいです。

したがって、$_{3}H_{6}$ を計算します。

$_{3}H_{6} = _{3+6-1}C_{6} = _{8}C_{6}$ となります。

$_{8}C_{6}$ は $_{8}C_{2}$ と等しく、

$_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$ と計算できます。

3. 最終的な答え

(1) 120

(2) 28