全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、$B = \{2, 4, 6\}$が与えられている。また、$n(A) = 4$、$n(B) = 3$、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$、$\overline{A} = \{5, 6\}$、$n(A \cup B) = 5$、$n(\overline{A}) = 2$である。 このとき、以下の集合の要素の個数を求めよ。 (1) $n(U)$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、$B = \{2, 4, 6\}$が与えられている。また、$n(A) = 4$、$n(B) = 3$、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$、$\overline{A} = \{5, 6\}$、$n(A \cup B) = 5$、$n(\overline{A}) = 2$である。

このとき、以下の集合の要素の個数を求めよ。

(1) $n(U)$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(U)$ は集合 $U$ の要素の個数を求める。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$より、要素は6個なので、

$n(U) = 6$

(2) $n(\overline{B})$ は集合 $B$ の補集合の要素の個数を求める。まず、$B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$

よって、$n(\overline{B}) = 3$

(3) $n(A \cap B)$ は集合 $A$ と $B$ の共通部分の要素の個数を求める。

$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4\}$

よって、$n(A \cap B) = 2$

(4) $n(\overline{A \cup B})$ は集合 $A \cup B$ の補集合の要素の個数を求める。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$なので、

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{1, 2, 3, 4, 6\} = \{5\}$

よって、$n(\overline{A \cup B}) = 1$

(5) $n(A \cap \overline{B})$ は集合 $A$ と集合 $B$ の補集合の共通部分の要素の個数を求める。

$A = \{1, 2, 3, 4\}$、$\overline{B} = \{1, 3, 5\}$より、

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1, 3\}$

よって、$n(A \cap \overline{B}) = 2$

3. 最終的な答え

(1) $n(U) = 6$

(2) $n(\overline{B}) = 3$

(3) $n(A \cap B) = 2$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 1$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = 2$