8個の数字 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

1. 問題の内容

8個の数字 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

2. 解き方の手順

この問題は、同じものを含む順列の問題です。

8個の数字の並べ方は、8! 通りですが、同じ数字が複数あるため、それらの並べ替えは同じものとみなします。

具体的には、1が3個、2が3個、3が2個あります。

したがって、重複を避けるために、次のように計算します。

まず、8個の数字を並べる順列の総数は $8!$ です。

次に、1が3個あるので、1の並べ替えによる重複は $3!$ 通りです。

同様に、2が3個あるので、2の並べ替えによる重複は $3!$ 通りです。

また、3が2個あるので、3の並べ替えによる重複は $2!$ 通りです。

したがって、作れる8桁の整数の個数は、次のように計算できます。

$\frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 6 \times 2}$

$= \frac{8 \times 7 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 2}$

$= 8 \times 7 \times 5 \times 2 = 560$

3. 最終的な答え

560 個