## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題17：正七角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

問題18：12人の生徒を次のように分ける方法の数を求めます。

(1) 7人,5人の2組に分ける。

(2) 6人,4人,2人の3組に分ける。

(3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる。

(4) 6人ずつの2組に分ける。

(5) 8人,2人,2人の3組に分ける。

(6) 3人ずつの4組に分ける。

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2. 解き方の手順

問題17

(1) 7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算します。

$7C3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 7個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。

$7C4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) 対角線の本数は、全頂点の組み合わせから辺の数を引いたものです。全頂点の組み合わせは $7C2$ で計算され、$7C2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ です。七角形の辺の数は7なので、対角線の本数は $21 - 7 = 14$ です。

問題18

(1) 12人から7人を選ぶ組み合わせの数を求めます。残りの5人は自動的に決まります。

$12C7 = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

(2) 12人から6人を選び、残りの6人から4人を選び、さらに残りの2人から2人を選びます。

$12C6 \times 6C4 \times 2C2 = \frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{4!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 924 \times 15 \times 1 = 13860$

(3) 12人から6人を選び、残りの6人をもう一つの部屋に入れます。

$12C6 = \frac{12!}{6!6!} = 924$

(4) 12人から6人を選び、残りの6人をもう一つの組に入れます。ただし、2つの組は区別しないので、2で割ります。

$\frac{12C6}{2} = \frac{924}{2} = 462$

(5) 12人から8人を選び、残りの4人から2人を選び、さらに残りの2人から2人を選びます。2人の組は区別しないので、2で割ります。

$12C8 \times 4C2 \times 2C2 / 2! = \frac{12!}{8!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} / 2 = 495 \times 6 \times 1 / 2 = 1485$

(6) 12人から3人を選び、残りの9人から3人を選び、残りの6人から3人を選び、残りの3人から3人を選びます。4つの組は区別しないので、4!で割ります。

$12C3 \times 9C3 \times 6C3 \times 3C3 / 4! = \frac{12!}{3!9!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} / 24 = 220 \times 84 \times 20 \times 1 / 24 = 15400$

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3. 最終的な答え

問題17

(1) 35

(2) 35

(3) 14

問題18

(1) 792

(2) 13860

(3) 924

(4) 462

(5) 1485

(6) 15400