* Aにはbまたはcを入れる。Bにはaまたはcを入れる。 * このとき、cはCに入れないという条件を満たさなければならない。 * (A,B) = (b, a), (b, c), (c, a), (c,b)のパターンがあり、条件を満たすのは(b,a), (c,a), (c,b)の3パターン。

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

3つの区別できる玉 (a, b, c) と7つの区別できる箱 (A, B, C, D, E, F, G) がある。

ただし、1つの箱には1個の玉までしか入らないとする。

以下の問いに答えよ。

(1) 3個の玉を箱に入れる方法は何通りあるか。

(2) 箱Aには玉を入れ、箱Gには玉を入れないような方法は何通りあるか。

(3) 次の条件を満たすように玉を入れる方法を考える。

条件：aを箱Aに入れず、bを箱Bに入れず、cを箱Cに入れない。

(i) 3個の玉のうち2個だけを、箱A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。

(ii) 3個の玉のうち少なくとも1個を、箱A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。

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2. 解き方の手順

(1) 3個の玉を箱に入れる方法

* まず、aの玉を入れる箱の選び方は7通り。

* 次に、bの玉を入れる箱の選び方は、aが入った箱以外なので6通り。

* 最後に、cの玉を入れる箱の選び方は、aとbが入った箱以外なので5通り。

よって、積の法則より、 $7 \times 6 \times 5 = 210$ 通り。

(2) 箱Aには玉を入れ、箱Gには玉を入れない方法

* まず、箱Aに入れる玉の選び方は3通り（a, b, cのどれか）。

* 次に、残りの2個の玉を入れる箱の選び方を考える。箱Gには入れないという条件があるので、残りの箱は5個(B,C,D,E,F)となる。

* 1つ玉を選び、箱に入れる方法は5通り。

* 最後の玉は、すでに玉が入っている箱以外に入れられるので、4通り。

よって、積の法則より、$3 \times 5 \times 4 = 60$通り。

(3) 条件を満たすように玉を入れる方法

(i) 3個の玉のうち2個だけを、箱A, B, Cに入れる方法

条件より、aは箱Aに、bは箱Bに、cは箱Cに入れない。

この条件を満たしつつ、A,B,Cのうち2つの箱に玉を入れる組み合わせを考える。

1. 玉をAとBに入れる場合：

* Aにはbまたはcを入れる。Bにはaまたはcを入れる。

* このとき、cはCに入れないという条件を満たさなければならない。

* (A,B) = (b, a), (b, c), (c, a), (c,b)のパターンがあり、条件を満たすのは(b,a), (c,a), (c,b)の3パターン。

2. 玉をAとCに入れる場合：

* Aにはbまたはcを入れる。Cにはaまたはbを入れる。

* このとき、bはBに入れないという条件を満たさなければならない。

* (A,C) = (b, a), (b, c), (c, a), (c,b)のパターンがあり、条件を満たすのは(b,a), (b,c), (c,a)の3パターン。

3. 玉をBとCに入れる場合：

* Bにはaまたはcを入れる。Cにはaまたはbを入れる。

* このとき、aはAに入れないという条件を満たさなければならない。

* (B,C) = (a,b), (a, c), (c, a), (c,b)のパターンがあり、条件を満たすのは(a,b), (a,c), (c,b)の3パターン。

それぞれの組み合わせで残りの玉を入れる箱は、A,B,C以外の4つの箱から選ぶことができるので4通り。

よって、 $3 \times 4 + 3 \times 4 + 3 \times 4 = 36$通り。

(ii) 3個の玉のうち少なくとも1個を、箱A, B, Cに入れる方法

余事象を考える。3つの玉を全て箱A, B, C以外の箱に入れる場合を考える。

玉を入れられる箱は4つ(D, E, F, G)となる。

aの選び方は4通り、bの選び方は4通り、cの選び方は4通り。

よって、4 x 4 x 4 = 64通り。

(1)より、全ての入れ方は210通りなので、少なくとも1個を箱A,B,Cに入れる方法は、210 - 64 = 146通り。

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3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 60通り

(3) (i) 36通り (ii) 146通り