図のような格子状の道がある町で、点Aから点Bまでの最短経路について、以下の問いに答える問題です。 * 最短経路の総数を求めます。 * 最短経路のうち、点Qを通るものの総数を求めます。 * 最短経路のうち、点Pまたは点Qを通るものの総数を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答を記述します。

1. 問題の内容

図のような格子状の道がある町で、点Aから点Bまでの最短経路について、以下の問いに答える問題です。

* 最短経路の総数を求めます。

* 最短経路のうち、点Qを通るものの総数を求めます。

* 最短経路のうち、点Pまたは点Qを通るものの総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路の総数

AからBまで行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。したがって、最短経路の総数は、8回の移動のうち、右に移動する5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) AからQを通ってBまでの最短経路の総数

AからQまで行くには、右に3回、上に1回移動する必要があります。QからBまで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。

AからQまでの最短経路の総数は、4回の移動のうち、右に移動する3回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

QからBまでの最短経路の総数は、4回の移動のうち、右に移動する2回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、AからQを通ってBまでの最短経路の総数は、$4 \times 6 = 24$通りです。

(3) AからPを通ってBまでの最短経路の総数

AからPまで行くには、右に1回、上に2回移動する必要があります。PからBまで行くには、右に4回、上に1回移動する必要があります。

AからPまでの最短経路の総数は、3回の移動のうち、右に移動する1回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$

PからBまでの最短経路の総数は、5回の移動のうち、右に移動する4回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{5}C_{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$

したがって、AからPを通ってBまでの最短経路の総数は、$3 \times 5 = 15$通りです。

(4) AからPまたはQを通ってBまでの最短経路の総数

Pを通る経路の数とQを通る経路の数を足し合わせ、PとQの両方を通る経路の数を引きます。

PとQの両方を通る経路は、AからP、PからQ、QからBと進む経路です。PからQへ行くには、右に2回、下に1回移動する必要があります。PからQへの経路は

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

したがって、AからPを通ってQを通ってBまでの最短経路の総数は、$3 \times 3 \times 6 = 54$通りです。これはありえません。PからQへ行くことはできません。

Pを通る経路の数とQを通る経路の数を足し合わせるだけです。

$15 + 24 = 39$

3. 最終的な答え

* 最短経路の総数: 56通り

* Qを通る最短経路の総数: 24通り

* PまたはQを通る最短経路の総数: 39通り

セ: 56

チツ: 24

テト: 39