全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられ、その部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{1, 2, 5, 8\}$, $A \cap B = \{3\}$, $A \cap \overline{B} = \{4, 7, 10\}$ が与えられています。このとき、集合 $A$ と $B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられ、その部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{1, 2, 5, 8\}$, $A \cap B = \{3\}$, $A \cap \overline{B} = \{4, 7, 10\}$ が与えられています。このとき、集合 $A$ と $B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ と $B$ の関係を図で考えると、以下のようになります。

* $A \cap B$ は $A$ にも $B$ にも含まれる要素の集合

* $A \cap \overline{B}$ は $A$ には含まれるが $B$ には含まれない要素の集合

* $\overline{A} \cap B$ は $A$ には含まれないが $B$ には含まれる要素の集合

これらの情報から、$A$ と $B$ を構成します。

集合 $A$ は、$A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ の和集合なので、

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$

同様に、集合 $B$ は、$A \cap B$ と $\overline{A} \cap B$ の和集合なので、

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$

与えられた集合を代入すると、

$A = \{3\} \cup \{4, 7, 10\} = \{3, 4, 7, 10\}$

$B = \{3\} \cup \{1, 2, 5, 8\} = \{1, 2, 3, 5, 8\}$

3. 最終的な答え

$A = \{3, 4, 7, 10\}$

$B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$