12人の生徒を以下の条件でグループ分けする方法の数を求めます。 (1) 5人、4人、3人の3組に分ける。 (2) 4人ずつ3組に分ける。 (3) 特定の3人A、B、Cがそれぞれ異なるグループになるように、4人ずつ3組に分ける。

1. 問題の内容

12人の生徒を以下の条件でグループ分けする方法の数を求めます。

(1) 5人、4人、3人の3組に分ける。

(2) 4人ずつ3組に分ける。

(3) 特定の3人A、B、Cがそれぞれ異なるグループになるように、4人ずつ3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1)

まず、12人から5人を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは$_{12}C_5$です。

次に、残りの7人から4人を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは$_{7}C_4$です。

最後に、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせの数は$_{3}C_3$ = 1です。

したがって、求める場合の数は、

$_{12}C_5 \times _{7}C_4 \times _{3}C_3$

$=\frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!}$

$= 27720$通り

(2)

まず、12人から4人を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは$_{12}C_4$です。

次に、残りの8人から4人を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは$_{8}C_4$です。

最後に、残りの4人から4人を選ぶ組み合わせの数は$_{4}C_4$ = 1です。

4人ずつのグループなので、グループの区別はありません。よって、３つのグループの並び順を考慮する必要があるので3!で割ります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{12}C_4 \times _{8}C_4 \times _{4}C_4}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times 1= \frac{12!}{(4!)^3 \times 3!}$

$= \frac{12!}{6 \times (4!)^3}$

$= 5775$通り

(3)

まず、A, B, Cをそれぞれ別の組に入れることから考えます。

Aの組に入れる残り3人の選び方は$_{9}C_3$通り。

Bの組に入れる残り3人の選び方は$_{6}C_3$通り。

Cの組に入れる残り3人は$_{3}C_3$ = 1通り。

したがって、求める場合の数は、

$_{9}C_3 \times _{6}C_3 \times _{3}C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 = \frac{9!}{(3!)^3}$

$= 1680$通り

3. 最終的な答え

(1) 27720通り

(2) 5775通り

(3) 1680通り