与えられた集合や条件に関する問題です。 (1) 集合 $\{x | -1 \le x < 4, x \text{は整数}\}$ を要素を書き並べて表す。 (2) 集合 $A = \{2n | n \text{は5以下の自然数}\}$, $B = \{1, 2, 3\}$, $C = \{2, 4, 6\}$, $D = \{1, 10\}$, $E = \{8\}$ とする。集合 $B \sim E$ のうち、集合 $A$ の部分集合であるものを答える。 (3) 集合 $\{a, b, c, d\}$ の部分集合の個数を答える。 (4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ について、$\overline{A}$ (Aの補集合)と $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分)を求める。 (5) 200以下の自然数のうち、5の倍数または7の倍数の個数を答える。

1. 問題の内容

与えられた集合や条件に関する問題です。

(1) 集合 $\{x | -1 \le x < 4, x \text{は整数}\}$ を要素を書き並べて表す。

(2) 集合 $A = \{2n | n \text{は5以下の自然数}\}$, $B = \{1, 2, 3\}$, $C = \{2, 4, 6\}$, $D = \{1, 10\}$, $E = \{8\}$ とする。集合 $B \sim E$ のうち、集合 $A$ の部分集合であるものを答える。

(3) 集合 $\{a, b, c, d\}$ の部分集合の個数を答える。

(4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ について、$\overline{A}$ (Aの補集合)と $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分)を求める。

(5) 200以下の自然数のうち、5の倍数または7の倍数の個数を答える。

2. 解き方の手順

(1) $-1 \le x < 4$ を満たす整数 $x$ は、-1, 0, 1, 2, 3 です。

したがって、集合は $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ となります。

(2) $A = \{2n | n \text{は5以下の自然数}\} = \{2 \times 1, 2 \times 2, 2 \times 3, 2 \times 4, 2 \times 5\} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

集合 $B = \{1, 2, 3\}$ は $A$ の部分集合ではありません。(1, 3 が $A$ に含まれない)

集合 $C = \{2, 4, 6\}$ は $A$ の部分集合です。

集合 $D = \{1, 10\}$ は $A$ の部分集合ではありません。(1 が $A$ に含まれない)

集合 $E = \{8\}$ は $A$ の部分集合です。

(3) 集合 $\{a, b, c, d\}$ の要素の個数は4個です。部分集合の個数は $2^4 = 16$ 個です。

(4) $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 4, 8\}$

$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} = U - B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 4, 8\} \cap \{2, 4, 6, 8, 10\} = \{2, 4, 8\}$

(5) 200以下の5の倍数の個数は $\lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$ 個です。

200以下の7の倍数の個数は $\lfloor \frac{200}{7} \rfloor = 28$ 個です。

200以下の5と7の公倍数(35の倍数)の個数は $\lfloor \frac{200}{35} \rfloor = 5$ 個です。

したがって、5の倍数または7の倍数の個数は $40 + 28 - 5 = 63$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$

(2) $C, E$

(3) 16

(4) ア: $\{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$, イ: $\{2, 4, 8\}$

(5) 63