右の図のような道がある町で、PからQまで遠回りをしないで行く場合の道順の総数を、次のそれぞれの場合について求めます。 (1) Rを通って行く。 (2) ×印の箇所を通らないで行く。 (3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道がある町で、PからQまで遠回りをしないで行く場合の道順の総数を、次のそれぞれの場合について求めます。

(1) Rを通って行く。

(2) ×印の箇所を通らないで行く。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く。

2. 解き方の手順

まず、PからQまで遠回りをせずに進むには、右に進むか上に進むかしかありません。

(1) Rを通って行く場合

PからRまでの道順の数と、RからQまでの道順の数を掛け合わせます。

PからRまでは右に2回、上に1回進むので、道順の数は$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

RからQまでは右に3回、上に3回進むので、道順の数は$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りです。

したがって、PからRを通ってQまで行く道順の数は、 $3 \times 20 = 60$通りです。

(2) ×印の箇所を通らないで行く場合

まず、PからQまで行くすべての道順の数を求めます。

PからQまでは右に5回、上に4回進むので、道順の数は$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通りです。

次に、×印の箇所を通る道順の数を求めます。

Pから×印までは右に3回、上に2回進むので、道順の数は$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

×印からQまでは右に2回、上に2回進むので、道順の数は$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、Pから×印を通ってQまで行く道順の数は、 $10 \times 6 = 60$通りです。

したがって、×印の箇所を通らないで行く道順の数は、$126 - 60 = 66$通りです。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く場合

Rを通る道順の数は(1)より60通りです。

このうち、Rを通り、かつ×印を通る道順の数を求めます。

PからRまでは(1)より3通りです。

Rから×印までは右に1回、上に1回進むので、道順の数は$_{2}C_{1}= 2$通りです。

×印からQまでは(2)より6通りです。

したがって、PからRを通り×印を通ってQまで行く道順の数は、$3 \times 2 \times 6 = 36$通りです。

したがって、Rを通り、×印の箇所を通らないで行く道順の数は、 $60 - 36 = 24$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 66通り

(3) 24通り