右の図のような道のある町で、PからQまで行くときの最短経路について、以下の3つの場合についてその経路数を求めます。 (1) Rを通って行く。 (2) ×印の箇所は通らないで行く。 (3) Rを通り、×印の箇所は通らないで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、PからQまで行くときの最短経路について、以下の3つの場合についてその経路数を求めます。

(1) Rを通って行く。

(2) ×印の箇所は通らないで行く。

(3) Rを通り、×印の箇所は通らないで行く。

2. 解き方の手順

PからQまでの最短経路は、右に5回、下に4回移動することで実現できます。

PからRまでの最短経路は、右に1回、下に2回移動することで実現できます。

RからQまでの最短経路は、右に4回、下に2回移動することで実現できます。

(1) Rを通って行く場合

PからRまでの経路数とRからQまでの経路数を掛け合わせます。

PからRまでの経路数は、全部で3回の移動のうち右への移動が1回なので、$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

RからQまでの経路数は、全部で6回の移動のうち右への移動が4回なので、$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

したがって、Rを通って行く経路数は、$3 \times 15 = 45$通りです。

(2) ×印の箇所は通らないで行く場合

まず、PからQまでのすべての経路数を求めます。

PからQまでの経路数は、全部で9回の移動のうち右への移動が5回なので、$_{9}C_{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通りです。

次に、×印の箇所を通る経路数を求めます。

Pから×印の箇所までの経路数は、右に3回、下に2回移動するので、$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

×印の箇所からQまでの経路数は、右に2回、下に2回移動するので、$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、×印の箇所を通る経路数は、$10 \times 6 = 60$通りです。

よって、×印の箇所を通らないで行く経路数は、$126 - 60 = 66$通りです。

(3) Rを通り、×印の箇所は通らないで行く場合

Rを通り、かつ×印を通る経路数を計算し、(1)の結果から引きます。

PからRへの経路数は3通りでした。

Rから×印への経路数は右に2回、下に0回移動するので、$_{2}C_{2} = 1$通りです。

×印からQへの経路数は6通りでした。

よって、Rを通り、×印を通る経路数は$3 \times 1 \times 6 = 18$通りです。

Rを通る経路数は45通りなので、Rを通り、×印を通らない経路数は$45 - 18 = 27$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 45通り

(2) 66通り

(3) 27通り