問題15では、5人を3つの部屋（A, B, C）に入れる方法の総数を求める問題と、5人を3つのグループ（A, B, C）に分ける方法の総数を求める問題が出題されています。 問題16では、組み合わせの値を求める問題が出題されています。

1. 問題の内容

問題15では、5人を3つの部屋（A, B, C）に入れる方法の総数を求める問題と、5人を3つのグループ（A, B, C）に分ける方法の総数を求める問題が出題されています。

問題16では、組み合わせの値を求める問題が出題されています。

2. 解き方の手順

問題15 (1):

各人が3つの部屋のいずれかに入るので、各人について3通りの選択肢があります。したがって、5人全員の組み合わせの総数は、$3^5$ となります。

問題15 (2):

5人を3つのグループに分ける方法は複雑です。これは、グループの人数構成によって場合分けする必要があります。

グループ分けは順序を区別しないため、以下の組み合わせを考える必要があります。

(3, 1, 1), (2, 2, 1)

(3, 1, 1)の場合：

5人から3人を選ぶ方法は ${5 \choose 3}$ 通り。残りの2人から1人を選ぶ方法は ${2 \choose 1}$ 通り。最後の1人は自動的に決まる。ただし、1人のグループは区別しないので、${2 \choose 1}$は2で割る必要がある。よって、${5 \choose 3} \times {2 \choose 1} / 2 = 10 \times 2 / 2 = 10$通り。

(2, 2, 1)の場合：

5人から2人を選ぶ方法は ${5 \choose 2}$ 通り。残りの3人から2人を選ぶ方法は ${3 \choose 2}$ 通り。最後の1人は自動的に決まる。ただし、2人のグループは区別しないので、${3 \choose 2}$は2で割る必要がある。よって、${5 \choose 2} \times {3 \choose 2} / 2 = 10 \times 3 / 2 = 15$通り。

したがって、合計は10 + 15 = 25通り。ただし、A,B,Cというグループの区別があるので、3! = 6をかける必要があり、25*6 = 150通り。

問題16:

(1) ${6 \choose 3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) ${7 \choose 7} = 1$

(3) ${7 \choose 1} = 7$

(4) ${5 \choose 0} = 1$

(5) ${50 \choose 47} = {50 \choose 3} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 50 \times 49 \times 8 = 19600$

(6) ${n+1 \choose n-1} = {n+1 \choose (n+1)-(n-1)} = {n+1 \choose 2} = \frac{(n+1) \times n}{2}$

3. 最終的な答え

問題15 (1): 243通り

問題15 (2): 25通り

問題16:

(1) 20

(2) 1

(3) 7

(4) 1

(5) 19600

(6) $\frac{(n+1)n}{2}$