図のような道のある町で、PからQまで最短経路で移動する場合の数を求める問題です。 (1) Rを通る場合、(2) ×印の箇所を通らない場合、(3) Rを通り、×印の箇所を通らない場合の3つの場合について、最短経路の数を求めます。

1. 問題の内容

図のような道のある町で、PからQまで最短経路で移動する場合の数を求める問題です。

(1) Rを通る場合、(2) ×印の箇所を通らない場合、(3) Rを通り、×印の箇所を通らない場合の3つの場合について、最短経路の数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、PからQまでの最短経路の総数を求めます。次に、それぞれの条件における経路の数を求めます。

PからQへ行くには、右に5回、下に4回移動する必要があります。したがって、最短経路の総数は、9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ場合の数に等しくなります。これは、組み合わせで計算でき、$_9C_5$ となります。

$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(1) Rを通る場合：

PからRまでの最短経路の数と、RからQまでの最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。

PからRまでは、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、PからRまでの最短経路の数は、$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ です。

RからQまでは、右に3回、下に3回移動する必要があります。したがって、RからQまでの最短経路の数は、$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ です。

したがって、Rを通る最短経路の数は、$3 \times 20 = 60$ です。

(2) ×印の箇所を通らない場合：

まず、×印の箇所を通る最短経路の数を求めます。

Pから×印の箇所までは、右に3回、下に2回移動する必要があります。したがって、Pから×印の箇所までの最短経路の数は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ です。

×印の箇所からQまでは、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、×印の箇所からQまでの最短経路の数は、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ です。

したがって、×印の箇所を通る最短経路の数は、$10 \times 6 = 60$ です。

したがって、×印の箇所を通らない最短経路の数は、$126 - 60 = 66$ です。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らない場合：

Rを通り、かつ×印の箇所を通る最短経路の数を求めます。

PからRまでは、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、PからRまでの最短経路の数は、$_3C_2 = 3$ です。

Rから×印の箇所までは、右に1回、下に1回移動する必要があります。したがって、Rから×印の箇所までの最短経路の数は、$_2C_1 = 2$ です。

×印の箇所からQまでは、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、×印の箇所からQまでの最短経路の数は、$_4C_2 = 6$ です。

したがって、Rを通り、かつ×印の箇所を通る最短経路の数は、$3 \times 2 \times 6 = 36$ です。

したがって、Rを通り、×印の箇所を通らない最短経路の数は、$60 - 36 = 24$ です。

3. 最終的な答え

(1) Rを通る場合：60通り

(2) ×印の箇所を通らない場合：66通り

(3) Rを通り、×印の箇所を通らない場合：24通り