全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$が与えられている。このとき、以下の集合を求める問題である。 (1) $\overline{B}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ (6) $A \cap \overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$が与えられている。このとき、以下の集合を求める問題である。

(1) $\overline{B}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

(6) $A \cap \overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ (Bの補集合): $U$ から $B$ の要素を除いた集合である。

(2) $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分): $A$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素を集めた集合である。

(3) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分): $B$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めた集合である。

(4) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合): $U$ から $A \cup B$ の要素を除いた集合である。$A \cup B = \{1, 2, 3, 6\}$ なので $\overline{A \cup B} = U - \{1, 2, 3, 6\}$となる。

(5) $\overline{A \cap B}$ (AとBの共通部分の補集合): $U$ から $A \cap B$ の要素を除いた集合である。$A \cap B = \{3\}$なので、$\overline{A \cap B} = U - \{3\}$となる。

(6) $A \cap \overline{A \cap B}$ (AとAとBの共通部分の補集合の共通部分): $A$ の要素のうち、$A \cap B$ に含まれない要素を集めた集合である。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap \overline{A \cap B} = \{1, 2\}$