画像に示された経路図において、以下の問いに答えます。 (1) AからBまで行く方法の数を求めます。 (2) AからCを通ってBまで行く方法の数を求めます。 (3) AからCを通らずにBまで行く方法の数を求めます。

1. 問題の内容

画像に示された経路図において、以下の問いに答えます。

(1) AからBまで行く方法の数を求めます。

(2) AからCを通ってBまで行く方法の数を求めます。

(3) AからCを通らずにBまで行く方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

問題文から、AからBへ行く経路は、右または上に進むことしかできないと解釈します。

(1) AからBまで行く方法の数を求める。

AからBまで行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。したがって、合計5回の移動のうち、どの2回を上に移動するかを選ぶ組み合わせの数となります。

これは組み合わせ $_5C_2$ で計算できます。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) AからCを通ってBまで行く方法の数を求める。

AからCまで行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。その行き方は $_2C_1$ = 2通りです。

CからBまで行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。その行き方は $_3C_1$ = 3通りです。

したがって、AからCを通ってBまで行く方法は $2 \times 3 = 6$ 通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く方法の数を求める。

AからBまで行く方法の総数から、AからCを通ってBまで行く方法の数を引けばよい。

したがって、AからCを通らずにBまで行く方法は $10 - 6 = 4$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く方法は10通り。

(2) AからCを通ってBまで行く方法は6通り。

(3) AからCを通らずにBまで行く方法は4通り。