ある店でアルバイトをしている6人（専門学校生4人：A～D、大学生2人：E,F）が、午前、午後、夜間の3つの時間帯に分かれてシフトに入る。各時間帯には少なくとも1人が割り当てられ、専門学校生と大学生が同じ時間帯にならないようにシフトを割り当てる場合、シフトの割当て方は全部で何通りあるかを求める問題。ただし、A～F全員がその日のシフトに1回だけ割り当てられるものとする。

1. 問題の内容

ある店でアルバイトをしている6人（専門学校生4人：A～D、大学生2人：E,F）が、午前、午後、夜間の3つの時間帯に分かれてシフトに入る。各時間帯には少なくとも1人が割り当てられ、専門学校生と大学生が同じ時間帯にならないようにシフトを割り当てる場合、シフトの割当て方は全部で何通りあるかを求める問題。ただし、A～F全員がその日のシフトに1回だけ割り当てられるものとする。

2. 解き方の手順

まず、大学生2人のシフトの割り当て方を考える。大学生が同じシフトに入らないようにするため、3つの時間帯から2つを選んで割り当てる。これは ${}_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

次に、各時間帯に最低1人が割り当てられるように専門学校生を割り振る。

* 大学生のシフトが決まると、専門学校生は残りのシフトに入る必要がある。例えば、大学生が午前と午後に割り当てられた場合、専門学校生は夜の時間帯に必ず入る必要がある。

* 大学生が午前と午後に割り当てられた場合、専門学校生は夜の時間帯に必ず1人以上入る必要があるので、各時間帯に最低1人となる条件を満たす。

さて、専門学校生を3つの時間帯に割り当てるパターンを考える。

大学生が割り当てられた２つの時間帯に専門学校生がどのように割り当てられるかを考える。各時間帯に少なくとも1人が割り当てられている必要がある。

* (3, 1), (1, 3), (2, 2)の組み合わせがある。

パターン１：(3, 1)の場合

大学生が割り当てられた時間帯のうち、片方に専門学校生が3人、もう片方に1人入る。

4人の中から3人を選ぶ方法は ${}_4C_3 = 4$通り。残りの1人はもう一方の時間帯に入る。

この場合、大学生の割り当てられた時間帯のどちらに3人を入れるかを考慮すると、2通り。

したがって、 $4 \times 2 = 8$通り。

パターン２：(1, 3)の場合

大学生が割り当てられた時間帯のうち、片方に専門学校生が1人、もう片方に3人入る。

4人の中から1人を選ぶ方法は ${}_4C_1 = 4$通り。残りの3人はもう一方の時間帯に入る。

この場合、大学生の割り当てられた時間帯のどちらに1人を入れるかを考慮すると、2通り。

したがって、 $4 \times 2 = 8$通り。

パターン３：(2, 2)の場合

大学生が割り当てられた時間帯のうち、それぞれに専門学校生が2人ずつ入る。

4人の中から2人を選ぶ方法は ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$通り。残りの2人はもう一方の時間帯に入る。

したがって、 $6$通り。

専門学校生の割り当て方は、上記の3パターンを合計して、$8 + 8 + 6 = 22$ 通りとなる。

しかし、この分け方だと、大学生のシフトに入っていない時間帯に、専門学校生を必ず割り当てられる。したがって、大学生のシフトの組み合わせ6通りに対して、専門学校生の割り当て方の組み合わせ2通りを掛けることで、求める場合の数になる。

各シフトに少なくとも1人が割り当てられている必要があるので、残りの時間帯に専門学校生を割り振る必要がある。大学生が2つのシフトに割り振られているので、残りのシフトは一つ。したがって、残りの専門学校生はすべてそのシフトに入る。

したがって、求める場合の数は、大学生のシフトの決め方(${}_3P_2 = 6$)と専門学校生のシフトの決め方の組み合わせの積となる。専門学校生のシフトの組み合わせは、2つのグループに分けるので${}_4C_1 + {}_4C_2 + {}_4C_3$である。またそれぞれのシフトに何人割り振るかを考える必要がある。専門学校生は必ず余ったシフトにも割り振る必要があることを考えると、割り振り方は

$6 \times 8 = 48$通りとなる。

専門学校生の割り振り方の場合の数は、大学生のシフトの割り当て方が決まれば一意に決まる。つまり、専門学校生のシフトの組み合わせは考慮しなくてよい。

したがって、答えは $6 \times 8 = 48$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

48通り