全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ について、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ について、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$: $B$ の補集合であり、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の集合です。

$B = \{3, 6\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A \cap B}$: $A \cap B$ の補集合です。まず、$A \cap B$ を求めます。

$A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{3, 6\} = \{3\}$

よって、$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(3) $\overline{A \cup B}$: $A \cup B$ の補集合です。$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{3, 6\} = \{1, 2, 3, 6\}$

よって、$\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$: $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$, $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{4, 5, 6\} \cup \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$: $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$, $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{4, 5\}$

(6) $A \cap \overline{B}$: $A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$A = \{1, 2, 3\}$, $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$