右の図のような道のある地域で、A地点からB地点まで行く最短の道順の総数を求める問題です。また、A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短の道順の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域で、A地点からB地点まで行く最短の道順の総数を求める問題です。また、A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短の道順の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点までの最短経路の総数

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に3回進むことで到達します。したがって、合計8回の移動のうち、どちらを右に進むかを決めることで経路が決まります。これは8回の移動の中から右に進む5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

したがって、組み合わせの公式を用いて計算します。

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{}_8C_5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

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(2) A地点からC地点を経由してB地点までの最短経路の総数

AからCまでの最短経路は、右に2回、上に1回進むことで到達します。したがって、合計3回の移動のうち、どちらを右に進むかを決めることで経路が決まります。これは3回の移動の中から右に進む2回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

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{}_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3

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CからBまでの最短経路は、右に3回、上に2回進むことで到達します。したがって、合計5回の移動のうち、どちらを右に進むかを決めることで経路が決まります。これは5回の移動の中から右に進む3回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

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{}_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

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したがって、AからCを経由してBに行く最短経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積で求められます。

$3 \times 10 = 30$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く最短の道順：56通り

(2) AからCを通ってBへ行く最短の道順：30通り