問題10：0000から9999までの番号のうち、 (1) 同じ数字を2個ずつ含むもの (2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの の個数を求める。 問題11：A, B, C, Dの4人が品物を1個ずつ持ち寄り、くじ引きで分けるとき、各人が他の人の品物をもらうような分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題10：0000から9999までの番号のうち、

(1) 同じ数字を2個ずつ含むもの

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

の個数を求める。

問題11：A, B, C, Dの4人が品物を1個ずつ持ち寄り、くじ引きで分けるとき、各人が他の人の品物をもらうような分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題10 (1)：

まず、使う2つの数字を選ぶ。0から9までの10個の数字から2つを選ぶので、${10 \choose 2}$通りの選び方がある。

選んだ2つの数字をa, bとする。

aとbの並べ方はaabb, abab, abba, baab, baba, bbaaの6通りある。しかし、00を含む場合は先頭が0になる場合がある。

まず、2つの数字が0を含まない場合を考える。1から9までの数字から2つ選ぶ方法は${9 \choose 2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$通り。それぞれの並べ方は6通りなので、$36 \times 6 = 216$通り。

次に、2つの数字が0を含む場合を考える。もう一方の数字は1から9の9通り。この場合、0でない数字をcとすると、並べ方は00cc, 0c0c, 0cc0, c00c, c0c0, cc00。このうち、00cc, 0c0c, 0cc0は0から始まるので、これらを除外する。c00c, c0c0, cc00の3通りとなる。よって、$9 \times 3 = 27$通り。

したがって、合計は$216 + 27 = 243$通り。

問題10 (2)：

0から9までの数字から4つ選び、小さい順に並べる。

0から9までの10個の数字から4つを選ぶ方法は${10 \choose 4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$通り。

選んだ4つの数字を小さい順に並べれば条件を満たす数字ができるので、並べ方は1通り。

したがって、210通り。

問題11：

これは完全順列の問題である。4人の場合、場合の数は9通り。

A, B, C, Dの品物をそれぞれa, b, c, dとする。

各人が自分の品物をもらわない分け方を考える。

Aがbをもらう場合：

Bがaをもらう場合：Cはdをもらい、Dはcをもらう (1通り)

Bがcをもらう場合：Cはdをもらい、Dはaをもらう (1通り)

Bがdをもらう場合：Cはaをもらい、Dはcをもらう (1通り)

Aがcをもらう場合：

Cがaをもらう場合：Bはdをもらい、Dはbをもらう (1通り)

Cがbをもらう場合：Bはdをもらい、Dはaをもらう (1通り)

Cがdをもらう場合：Bはaをもらい、Dはbをもらう (1通り)

Aがdをもらう場合：

Dがaをもらう場合：Bはcをもらい、Cはbをもらう (1通り)

Dがbをもらう場合：Bはcをもらい、Cはaをもらう (1通り)

Dがcをもらう場合：Bはaをもらい、Cはbをもらう (1通り)

しかし、Dがcをもらう場合：Bはaをもらう、Cはbをもらうはあり得ない。Aがdをもらう場合：Dがbをもらう場合：Bはcをもらう、Cはaをもらう　はあり得ない。

Aがbをもらう場合：Bがaをもらう場合：CDがそれぞれ逆のものを貰う（1通り）

Aがbをもらう場合：Bがcをもらう場合：

Aがbをもらう場合：Bがdをもらう場合：

A→B, B→C, C→D, D→A

A→B, B→D, D→C, C→A

完全順列の公式を用いると、

$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

$D_4 = 4! (\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 24 (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 12 - 4 + 1 = 9$

3. 最終的な答え

問題10 (1)：243個

問題10 (2)：210個

問題11：9通り