全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ が与えられたとき、次の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cup B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ が与えられたとき、次の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

まず、補集合、和集合、共通部分の定義を確認します。

- 補集合: $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。

- 和集合: $A \cup B$ は、$A$ または $B$ に含まれるすべての要素の集合です。

- 共通部分: $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

(1) $\overline{A}$:

$A = \{1, 2, 4, 8\}$ なので、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素は $3, 5, 6, 7$ です。

よって、$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$。

(2) $\overline{B}$:

$B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ なので、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素は $1, 7, 8$ です。

よって、$\overline{B} = \{1, 7, 8\}$。

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$:

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$、$\overline{B} = \{1, 7, 8\}$ なので、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素は $7$ です。

よって、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{7\}$。

(4) $\overline{A \cup B}$:

まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

したがって、$\overline{A \cup B} = \{7\}$。

(5) $\overline{A} \cup B$:

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$、 $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$なので、$\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{7\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{7\}$

(5) $\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$