SHIKENの6文字をすべて使ってできる順列を、EHIKNSを1番目として辞書式順序に並べたとき、140番目の文字列を求める問題です。

1. 問題の内容

SHIKENの6文字をすべて使ってできる順列を、EHIKNSを1番目として辞書式順序に並べたとき、140番目の文字列を求める問題です。

2. 解き方の手順

SHIKENの6文字を並び替える順列は全部で$6! = 720$通りあります。辞書式順に並べるということは、アルファベット順に並べていくということです。SHIKENのアルファベット順は、E, H, I, K, N, Sです。

まず、先頭の文字がEであるものを考えます。残りの5文字(H, I, K, N, S)の順列は$5! = 120$通りあります。

次に、先頭の文字がHであるものを考えます。残りの5文字(E, I, K, N, S)の順列は$5! = 120$通りあります。

140番目を求めるので、$120 + 120 = 240$より、先頭はHではありません。

先頭がEの順列は1番目から120番目までです。よって140番目は、先頭がHの順列の$140-120=20$番目になります。

次に2文字目を考えます。

2文字目がEであるとき、残りの4文字(I, K, N, S)の順列は$4! = 24$通りです。$24 > 20$なので、2文字目はEです。

したがって、121番目から144番目の先頭の2文字はHEです。20番目を求めるので、140番目は、HEから始まる順列の20番目です。

次に3文字目を考えます。残りの文字はI, K, N, Sです。

3文字目がIであるとき、残りの3文字(K, N, S)の順列は$3! = 6$通りです。

3文字目がKであるとき、残りの3文字(I, N, S)の順列は$3! = 6$通りです。

3文字目がNであるとき、残りの3文字(I, K, S)の順列は$3! = 6$通りです。

$6+6+6=18$より、18番目までがこれらの順列に当てはまります。

したがって3文字目はNより後であり、3文字目がSの順列の$20 - 18 = 2$番目になります。よって3文字目はSです。

残りの文字はI, K, Nです。

4文字目がIであるとき、残りの2文字(K, N)の順列は$2! = 2$通りです。2番目なので、4文字目はIです。

HISから始まる順列の2番目になります。残りはK, Nです。

残りの2文字はK, Nです。

5文字目がKであるとき、残りの1文字(N)の順列は$1! = 1$通りです。

5文字目がNであるとき、残りの1文字(K)の順列は$1! = 1$通りです。

2番目なので、5文字目はNです。

残りの文字はKです。

したがって、140番目の文字列はHESINKです。

3. 最終的な答え

HESINK