(1) 1, 2, 3, 4の4つの数字から重複を許して3つの数字を取り出すとき、作られる組の総数を求めます。 (2) x, y, zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるかを求めます。

1. 問題の内容

(1) 1, 2, 3, 4の4つの数字から重複を許して3つの数字を取り出すとき、作られる組の総数を求めます。

(2) x, y, zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 重複組合せの問題です。4つの数字から重複を許して3つ選ぶ組み合わせの数を求めます。これは、4種類の箱に3つの区別できないボールを入れる方法の数と同じです。

重複組合せの公式 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$ を用います。

この場合、$n = 4$, $r = 3$ なので、

${}_4\mathrm{H}_3 = {}_{4+3-1}\mathrm{C}_3 = {}_6\mathrm{C}_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ となります。

(2) 6次の項は、$x^a y^b z^c$ の形で表され、$a + b + c = 6$ を満たす非負整数の組 $(a, b, c)$ の数を求める問題です。

これは、3種類の箱に6つの区別できないボールを入れる方法の数と同じです。

重複組合せの公式 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$ を用います。

この場合、$n = 3$, $r = 6$ なので、

${}_3\mathrm{H}_6 = {}_{3+6-1}\mathrm{C}_6 = {}_8\mathrm{C}_6 = {}_8\mathrm{C}_2 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 20通り

(2) 28通り