全体集合$U = \{x | x は10以下の自然数\}$と、その部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$が与えられています。 以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $A \cup B \cup C$ (3) $A \cap B \cap \overline{C}$ (4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$ (5) $\overline{A \cap B \cap C}$ (6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | x は10以下の自然数\}$と、その部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$が与えられています。

以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$

(5) $\overline{A \cap B \cap C}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$, $\overline{B}$, $\overline{C}$を求めます。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$なので、

$\overline{A} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

(1) $A \cap B \cap C$：$A, B, C$の共通部分を求めます。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$より、共通部分は$\{3\}$です。

(2) $A \cup B \cup C$：$A, B, C$の和集合を求めます。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$より、$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$です。

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$：$A, B$に共通で、かつ$\overline{C}$に含まれる要素を求めます。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$より、$A \cap B = \{3, 4\}$です。

このうち$\overline{C}$に含まれるのは$\{4\}$です。

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$：$\overline{A}, B, \overline{C}$に共通する要素を求めます。

$\overline{A} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$より、共通部分は$\{5\}$です。

(5) $\overline{A \cap B \cap C}$：$A \cap B \cap C$の補集合を求めます。

$A \cap B \cap C = \{3\}$だったので、$\overline{A \cap B \cap C} = U - \{3\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$です。

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$：$A \cup C$と$\overline{B}$の共通部分を求めます。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$なので、$A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\}$です。

$\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$なので、$(A \cup C) \cap \overline{B} = \{1, 2, 7, 8\}$です。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{3\}$

(2) $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C} = \{5\}$

(5) $\overline{A \cap B \cap C} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B} = \{1, 2, 7, 8\}$