全体集合$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$と$B = \{4, 6, 7, 9\}$が与えられている。以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$ (6) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$と$B = \{4, 6, 7, 9\}$が与えられている。以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

(6) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合$A$と集合$B$の両方に含まれる要素からなる集合である。$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$ と $B = \{4, 6, 7, 9\}$ より、$A \cap B = \{4, 7\}$である。したがって、$n(A \cap B) = 2$となる。

(2) $A \cup B$ は、集合$A$または集合$B$に含まれる要素からなる集合である。$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$ と $B = \{4, 6, 7, 9\}$ より、$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$である。したがって、$n(A \cup B) = 7$となる。

(3) $n(U)$は与えられていないので、全体集合$U$が定義されているものとする。

$B = \{4, 6, 7, 9\}$であるから、$B$の補集合$\overline{B}$は$U$から$B$の要素を除いた集合となる。しかし、全体集合$U$が与えられていないため、$n(\overline{B})$を求めることはできない。ここでは、$U$が$A$と$B$の要素の和集合、すなわち$U = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$であると仮定する。このとき、$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 8\}$となる。したがって、$n(\overline{B}) = 3$となる。

(4) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合である。$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$ であり、全体集合$U$が $\{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$ であると仮定すると、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \emptyset$ となる。したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 0$となる。

(5) $A \cap \overline{B}$ は、集合$A$に含まれ、かつ集合$B$に含まれない要素からなる集合である。$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$ であり、$\overline{B} = \{1, 2, 8\}$ であると仮定すると、$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 8\}$ となる。したがって、$n(A \cap \overline{B}) = 3$となる。

(6) $\overline{A} \cap B$ は、集合$B$に含まれ、かつ集合$A$に含まれない要素からなる集合である。$\overline{A} = \{6, 9\}$ であり、$B = \{4, 6, 7, 9\}$ であると仮定すると、$\overline{A} \cap B = \{6, 9\}$ となる。したがって、$n(\overline{A} \cap B) = 2$となる。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 2$

(2) $n(A \cup B) = 7$

(3) $n(\overline{B}) = 3$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 0$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = 3$

(6) $n(\overline{A} \cap B) = 2$