図のような道路網において、 (1) A地点からB地点へ行く最短経路の数 (2) A地点からイ地点を経由してB地点へ行く最短経路の数 を求める問題です。

1. 問題の内容

図のような道路網において、

(1) A地点からB地点へ行く最短経路の数

(2) A地点からイ地点を経由してB地点へ行く最短経路の数

を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点への最短経路の数

A地点からB地点へ行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。したがって、8回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を考えればよいので、

$_{8}C_{5}$ を計算します。

$_{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) A地点からイ地点を経由してB地点への最短経路の数

まず、A地点からイ地点へ行く最短経路の数を求めます。A地点からイ地点へ行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。したがって、4回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を考えればよいので、

$_{4}C_{2}$ を計算します。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次に、イ地点からB地点へ行く最短経路の数を求めます。イ地点からB地点へ行くには、右に3回、上に1回移動する必要があります。したがって、4回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数を考えればよいので、

$_{4}C_{3}$ を計算します。

$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$

したがって、A地点からイ地点を経由してB地点へ行く最短経路の数は、A地点からイ地点への最短経路の数と、イ地点からB地点への最短経路の数を掛け合わせたものになります。

$6 \times 4 = 24$

3. 最終的な答え

(1) A地点からB地点に達する最短経路は56通り

(2) A地点からイ地点を通って、B地点に達する最短経路は24通り