全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について, $A \subset B$ のとき, 以下の集合を求めよ. (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について, $A \subset B$ のとき, 以下の集合を求めよ.

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B$ は, $A$ のすべての要素が $B$ に含まれることを意味する. したがって, $A$ と $B$ の共通部分 $A \cap B$ は $A$ 自身になる.

(2) $A \subset B$ のとき, $A$ と $B$ の和集合 $A \cup B$ は $B$ 自身になる.

(3) ド・モルガンの法則により, $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ が成り立つ.

$A \subset B$ のとき, $A \cup B = B$ であるから,

$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{B}$ となる.

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = A$

(2) $A \cup B = B$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{B}$