A, B, C, D, E の5人がそれぞれ名刺を1枚ずつ持っている。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の5人がそれぞれ名刺を1枚ずつ持っている。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、自分の名刺を取る1人を誰にするかを決める。これは5人の中から1人を選ぶので、$5C1 = 5$ 通りある。

次に、残りの4人は誰も自分の名刺を取らないように名刺を配る必要がある。これは完全順列（攪乱順列）の問題である。4人の場合、完全順列の数は以下の式で計算できる。

$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

この式に $n=4$ を代入すると、

$D_4 = 4! \left(\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$

$D_4 = 24 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$

$D_4 = 24 \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$

$D_4 = 24 \left(\frac{9}{24}\right) = 9$

したがって、4人が誰も自分の名刺を取らないような配り方は9通りある。

最初に自分の名刺を取る1人の選び方が5通り、残りの4人が誰も自分の名刺を取らない配り方が9通りなので、求める場合の数は、

$5 \times 9 = 45$

3. 最終的な答え

45通り