数列「11, 100, 110, 1001, 1101, 1111, ...」の規則性を見つけ、次の項を決定する問題です。

## 問題１：n進数

1. 問題の内容

数列「11, 100, 110, 1001, 1101, 1111, ...」の規則性を見つけ、次の項を決定する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列をよく観察し、規則性を推測します。

各項の数値を10進数に変換してみます。

* 11 (二進数) = 3

* 100 (二進数) = 4

* 110 (二進数) = 6

* 1001 (二進数) = 9

* 1101 (二進数) = 13

* 1111 (二進数) = 15

これらの10進数値を並べてみます: 3, 4, 6, 9, 13, 15

隣り合う数の差を見てみます: 1, 2, 3, 4, 2

数列の差分は規則性があるようには見えません。

別のアプローチを試みます。それぞれの数を二進数のまま観察します。それぞれの桁数を観察すると, 2桁、3桁、3桁、4桁、4桁、4桁と増えています。

与えられた二進数の数を小さい順に並び替えてみます:

11, 100, 110, 1001, 1101, 1111

数列に現れる二進数の総当たりを小さい順に並べると以下のようになります。

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000...

このうち与えられた数列に現れる数を抽出すると以下のようになります。

11, 100, 110, 1001, 1101, 1111

これらの数値を10進数に変換すると以下のようになります。

3, 4, 6, 9, 13, 15

10進数で一つずつ検証すると

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

よって、この数列は、3,4,6,9,13,15, ... と並んでいるので、次は10進数の5,7,8,10,11,12,14が対応する2進数で表現される必要があります。

5 = 101, 7 = 111, 8 = 1000, 10 = 1010, 11 = 1011, 12 = 1100, 14 = 1110

数列の数は 2桁、3桁、3桁、4桁、4桁、4桁なので次は5桁になる可能性が高いです。

10進数の16は10000, 17は10001, 18は10010, 19は10011, 20は10100, 21は10101, 22は10110, 23は10111, 24は11000, 25は11001, 26は11010, 27は11011, 28は11100, 29は11101, 30は11110, 31は11111

問題文からすると、数が一つ増えるというよりは規則性を見つける必要があるので、10000が正解である可能性が高いです。

3. 最終的な答え

10000

## 問題２：整数解

1. 問題の内容

60と70をある2桁の正の整数で割ったとき、余りが等しくなる。そのような2桁の正の整数の一の位と十の位の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める2桁の整数を $n$ とします。

$60$ を $n$ で割ったときの商を $q_1$、余りを $r$ とすると、

$60 = nq_1 + r$

$70$ を $n$ で割ったときの商を $q_2$、余りを $r$ とすると、

$70 = nq_2 + r$

2つの式を引き算すると、

$70 - 60 = (nq_2 + r) - (nq_1 + r)$

$10 = n(q_2 - q_1)$

これは、$n$ が10の約数であることを意味します。

10の約数は 1, 2, 5, 10です。しかし、$n$ は2桁の整数なので、この中には該当するものはありません。

$r$は、$n$よりも小さい必要があります。

2つの式を比較してみます。$70 - 60 = 10$ なので、余りが同じになるということは、$n$が$70-60 = 10$の約数になるということです。

$60 = nq_1 + r$

$70 = nq_2 + r$

$0 \le r < n$

また、$n$は2桁の整数なので、$n>9$を満たす必要があります。

$70-60 = 10$より、$n$は10の約数である必要がありますが、2桁の整数で10の約数となるものは存在しません。

しかし、問題文をよく読むと、「60と70を2桁の正の数で割ると余りが同じになった」とあるので、60と70を同じ2桁の数で割る必要はありません。60をある2桁の数aで割った余りと、70を別の2桁の数bで割った余りが同じになるということです。

$70-60 = 10$なので、2桁の数で割って余りが同じになる数があるとすれば、その数は10の約数である必要があります。しかし、10の約数には2桁の数はありません。

問題の意味を取り違えている可能性があります。

余りが同じになる、ということは、2つの数を引いた差が、その数で割り切れる、ということです。

$70 - 60 = 10$

$n$が10の約数であればよい。しかし、$n$は2桁である必要がある。

題意を満たす解は存在しない。

$60 = a x + r$

$70 = b y + r$

仮に余りが0だとするならば、$a$と$b$は、$60$と$70$の約数である必要があります。

60の約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

70の約数：1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

両方に共通する約数：1, 2, 5, 10

2桁の数は、10のみ

余りが1だとすると

$59 = a x$

$69 = b y$

59の約数：1, 59

69の約数：1, 3, 23, 69

余りが2だとすると

$58 = a x$

$68 = b y$

58の約数：1, 2, 29, 58

68の約数：1, 2, 4, 17, 34, 68

余りが同じになる2桁の数$n$は存在しないので、問題に誤りがある可能性があります。

別の解釈として、$n$は2桁の整数で、$60 \equiv 70 \pmod{n}$。これは、$70-60 = 10$ が $n$ で割り切れることを意味します。$n$ は 10 の約数であり、1, 2, 5, 10です。問題文に「2桁の正の数」とあるので、該当するものはありません。

問題文の解釈が間違っているのかもしれません。60と70を割った余りが同じになる2桁の数$n$が複数存在して、それら全ての一の位と十の位の和を求めるのかもしれません。

その場合、題意を満たす$n$は存在しないため、一の位と十の位の和を求めることはできません。

もし、問題文が「60と70を割った余りが等しくなる**ような**2桁の正の数**のうちの一つ**の一の位と十の位の和はいくらか」であれば、答えは存在しうるかもしれません。しかし、それでも2桁の数で該当するものはないので、解なしとなります。

3. 最終的な答え

解なし

## 問題３：場合の数

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉2個、黒玉2個が入った袋から3個取り出して並べる場合の数を求める問題です。同じ色の玉は区別しないものとします。

2. 解き方の手順

取り出す玉の色の組み合わせを考えます。

* (i) 赤3個: 1通り

* (ii) 白3個: 0通り（白玉は2個しかないため）

* (iii) 黒3個: 0通り（黒玉は2個しかないため）

* (iv) 赤2個、白1個: 3!/2! = 3通り

* (v) 赤2個、黒1個: 3!/2! = 3通り

* (vi) 白2個、赤1個: 3!/2! = 3通り

* (vii) 白2個、黒1個: 3!/2! = 3通り

* (viii) 黒2個、赤1個: 3!/2! = 3通り

* (ix) 黒2個、白1個: 3!/2! = 3通り

* (x) 赤1個、白1個、黒1個: 3! = 6通り

それぞれのケースを足し合わせます。

1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 25

3. 最終的な答え

25通り