$\sqrt{14}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$ の値を求めます。 (2) $\frac{1}{b}$ の整数部分を $c$, 小数部分を $d$ とするとき、$c, d$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{14}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$ の値を求めます。

(2) $\frac{1}{b}$ の整数部分を $c$, 小数部分を $d$ とするとき、$c, d$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{14}$ の整数部分 $a$ を求める。

$3^2 = 9$ であり、$4^2 = 16$ であるから、$3 < \sqrt{14} < 4$ となる。したがって、$a=3$ である。

$\sqrt{14}$ の小数部分 $b$ は、$\sqrt{14} = a + b$ より、$b = \sqrt{14} - a$ で求められるので、 $b = \sqrt{14} - 3$ である。

(2) $\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{14} - 3}$ を計算する。

$\frac{1}{\sqrt{14} - 3} = \frac{\sqrt{14} + 3}{(\sqrt{14} - 3)(\sqrt{14} + 3)} = \frac{\sqrt{14} + 3}{14 - 9} = \frac{\sqrt{14} + 3}{5}$

$3 < \sqrt{14} < 4$ より、$6 < \sqrt{14} + 3 < 7$ となる。

よって、$\frac{6}{5} < \frac{\sqrt{14} + 3}{5} < \frac{7}{5}$ となり、$1.2 < \frac{\sqrt{14} + 3}{5} < 1.4$ となる。

$\frac{1}{b}$ の整数部分 $c$ は、$\frac{1}{b} = \frac{\sqrt{14} + 3}{5}$ の整数部分なので、$c=1$ である。

$\frac{1}{b}$ の小数部分 $d$ は、$d = \frac{1}{b} - c = \frac{\sqrt{14} + 3}{5} - 1 = \frac{\sqrt{14} + 3 - 5}{5} = \frac{\sqrt{14} - 2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\sqrt{14}-3$

(2) $c=1$, $d=\frac{\sqrt{14}-2}{5}$