与えられた式 $(x+y+z)(yz+zx+xy) - xyz$ を展開して簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(yz+zx+xy) - xyz$ を展開して簡略化せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $(x+y+z)(yz+zx+xy) - xyz$ を展開します。

まず、$(x+y+z)(yz+zx+xy)$ の部分を展開します。

$(x+y+z)(yz+zx+xy) = x(yz+zx+xy) + y(yz+zx+xy) + z(yz+zx+xy)$

$= xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xyz + xy^2 + yz^2 + z^2x + xyz$

$= 3xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xy^2 + yz^2 + z^2x$

したがって、与えられた式は

$(x+y+z)(yz+zx+xy) - xyz = 3xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xy^2 + yz^2 + z^2x - xyz$

$= 2xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xy^2 + yz^2 + z^2x$

$= x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz$

この式はこれ以上簡略化できる標準的な形はありません。

3. 最終的な答え

$x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz$

または

$2xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xy^2 + yz^2 + z^2x$