与えられた式を展開する問題です。具体的には、以下の3つの式を展開する必要があります。 (1) $(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ (2) $(x^3 - 2x^2 + 2x - 1)(x^3 + 2x^2 + 2x + 1)$ (3) $(x+2y-1)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。具体的には、以下の3つの式を展開する必要があります。

(1) $(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

(2) $(x^3 - 2x^2 + 2x - 1)(x^3 + 2x^2 + 2x + 1)$

(3) $(x+2y-1)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ の展開:

この式は、等比数列の和の公式を用いると、$x^5 - 1$となることがわかります。

$x(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - 1(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1$

$= x^5 - 1$

(2) $(x^3 - 2x^2 + 2x - 1)(x^3 + 2x^2 + 2x + 1)$ の展開:

この式は、$(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ の形を利用します。

$A = x^3 + 2x$, $B = 2x^2 + 1$ とおくと、

$(x^3 + 2x - (2x^2 + 1))(x^3 + 2x + (2x^2 + 1)) = (x^3 + 2x)^2 - (2x^2 + 1)^2$

$(x^3 + 2x)^2 = x^6 + 4x^4 + 4x^2$

$(2x^2 + 1)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 1$

したがって、$x^6 + 4x^4 + 4x^2 - (4x^4 + 4x^2 + 1) = x^6 - 1$

(3) $(x+2y-1)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$ の展開:

$x+2y = A$とおくと、$x^2-2xy+4y^2 = (x+2y)^2 - 3(2xy)$

$(A-1)(x^2 -2xy + 4y^2 + A + 1)$

$(A-1)((x+2y)^2 - 2x(2y) + x + 2y +1) = (x+2y-1)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$

$= (x+2y)^3 - 1$

$= x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3 - 1$

$= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^5 - 1$

(2) $x^6 - 1$

(3) $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 - 1$