$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形し、計算しやすい形にする。

まず、$x + \frac{1}{x}$ の値を求める。

$x = 2 - \sqrt{3}$ より、

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x + \frac{1}{x} = 4$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

求める値は、

$x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) = 14 + 4 = 18$

3. 最終的な答え

18