与えられた式 $(x^2+3x+5)(x+1)(x+2)+2$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2+3x+5)(x+1)(x+2)+2$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x+2)$ を展開します。

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

次に、与えられた式にこれを代入します。

$(x^2+3x+5)(x^2+3x+2)+2$

ここで、$x^2+3x = A$ と置くと、式は次のようになります。

$(A+5)(A+2) + 2$

これを展開します。

$A^2 + 2A + 5A + 10 + 2 = A^2 + 7A + 12$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2+3x)^2 + 7(x^2+3x) + 12$

$(x^2+3x)^2 = (x^2+3x)(x^2+3x) = x^4 + 3x^3 + 3x^3 + 9x^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2$

$7(x^2+3x) = 7x^2 + 21x$

したがって、

$x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 7x^2 + 21x + 12 = x^4 + 6x^3 + 16x^2 + 21x + 12$

3. 最終的な答え

$x^4+6x^3+16x^2+21x+12$