与えられた不等式 $ax < 4 - 2x < 2x$ の解が $1 < x < 4$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $ax < 4 - 2x < 2x$ の解が $1 < x < 4$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を2つに分解する。

* $4 - 2x < 2x$

* $ax < 4 - 2x$

1つ目の不等式を解く。

$4 - 2x < 2x$

$4 < 4x$

$1 < x$

2つ目の不等式を解く。

$ax < 4 - 2x$

この不等式の解が $x < 4$ となる必要がある。

まず、$ax < 4 - 2x$ を整理する。

$(a + 2)x < 4$

$a + 2 > 0$ のとき、$x < \frac{4}{a + 2}$ となる。

これが $x < 4$ となるためには、

$\frac{4}{a + 2} = 4$

$4 = 4(a + 2)$

$1 = a + 2$

$a = -1$

$a + 2 < 0$ のとき、$x > \frac{4}{a + 2}$ となる。

しかし、不等号の向きが異なるのでこれは条件を満たさない。

$a+2 = 0$, つまり、$a = -2$ のとき、$0 \cdot x < 4$ となるので、$x$ は任意の値を取る。

よって、この場合は条件を満たさない。

したがって、$a = -1$ が求める解である。

$a+2 > 0$ であるから、$-1+2=1 > 0$ なので、$a = -1$ は条件を満たす。

このとき、$x < \frac{4}{-1 + 2} = 4$ となり、$x < 4$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -1$