整式 $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を、それぞれ以下の整式で割ったときの商と余りを求めます。 (1) $x + 1$ (2) $x^2 + 2x + 1$ (3) $2x^3 + 1$

1. 問題の内容

整式 $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を、それぞれ以下の整式で割ったときの商と余りを求めます。

(1) $x + 1$

(2) $x^2 + 2x + 1$

(3) $2x^3 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を $x + 1$ で割る場合、組立除法を用いるのが簡単です。

組立除法を行うと、

商は $6x^3 - x^2 - 6x + 8$

余りは $-9$

となります。

(2) $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を $x^2 + 2x + 1$ で割る場合、筆算で計算します。

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$なので、(1)の結果をさらに$x+1$で割ることもできます。

筆算を行うと、

商は $6x^2 - 7x + 4$

余りは $-x - 5$

となります。

(3) $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を $2x^3 + 1$ で割る場合も、筆算で計算します。

筆算を行うと、

商は $3x + \frac{5}{2}$

余りは $-\frac{19}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 商: $6x^3 - x^2 - 6x + 8$, 余り: $-9$

(2) 商: $6x^2 - 7x + 4$, 余り: $-x - 5$

(3) 商: $3x + \frac{5}{2}$, 余り: $-\frac{19}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$