関数 $f(x) = 4^x + 4^{-x} + 2^{x+2} + 2^{-x+2} - 3$ の最小値 $m$ と、最小値をとるときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x + 4^{-x} + 2^{x+2} + 2^{-x+2} - 3$ の最小値 $m$ と、最小値をとるときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2^x + 2^{-x}$ とおく。

太郎さんのノート:

$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

したがって、$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$ であるから、アは2。

$f(x) = 4^x + 4^{-x} + 2^{x+2} + 2^{-x+2} - 3 = 4^x + 4^{-x} + 4 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^{-x} - 3 = 4^x + 4^{-x} + 4(2^x + 2^{-x}) - 3$

$f(x) = t^2 - 2 + 4t - 3 = t^2 + 4t - 5$

したがって、イは4、ウは5。

$f(x) = t^2 + 4t - 5 = (t+2)^2 - 4 - 5 = (t+2)^2 - 9$

したがって、エは2、オは9。

ゆえに、$f(x)$ は $t = -2$ で最小値 $-9$ となる。

しかし、花子さんの指摘より、$t = 2^x + 2^{-x}$ であるから、相加相乗平均の関係より

$t = 2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、カは2。

$t \ge 2$ であるから、$f(x) = (t+2)^2 - 9$ は $t = 2$ で最小値をとる。

$f(2) = (2+2)^2 - 9 = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7$

したがって、キは2、クは7。

最小値をとるとき、$t=2$ より、$2^x + 2^{-x} = 2$。

両辺に $2^x$ をかけると、$(2^x)^2 - 2(2^x) + 1 = 0$

$(2^x - 1)^2 = 0$

$2^x = 1$

$x = 0$

したがって、ケは0。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 5

エ: 2

オ: 9

カ: 2

キ: 2

ク: 7

ケ: 0