式 $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を因数分解します。

## 47 (1) の問題

1. 問題の内容

式 $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$A = x^2 + 2x$ と置きます。すると、与えられた式は

$A(A-4) + 3$

となります。展開して整理すると、

$A^2 - 4A + 3$

となります。これを因数分解すると、

$(A-1)(A-3)$

となります。ここで、$A = x^2 + 2x$ を代入すると、

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3)$

となります。さらに、$x^2 + 2x - 3$ は因数分解できるので、

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

となります。したがって、最終的な因数分解は

$(x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$

## 48 (1) の問題

1. 問題の内容

式 $81x^4 - 16y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ という因数分解の公式（差の二乗の公式）を利用できます。

$81x^4 = (9x^2)^2$ であり、$16y^4 = (4y^2)^2$ なので、

$81x^4 - 16y^4 = (9x^2 + 4y^2)(9x^2 - 4y^2)$

となります。さらに、$9x^2 - 4y^2$ は $(3x)^2 - (2y)^2$ と見なせるので、再び差の二乗の公式を利用できます。

$9x^2 - 4y^2 = (3x + 2y)(3x - 2y)$

したがって、最終的な因数分解は

$(9x^2 + 4y^2)(3x + 2y)(3x - 2y)$

となります。

3. 最終的な答え

$(9x^2 + 4y^2)(3x + 2y)(3x - 2y)$

## 49 (1) の問題

1. 問題の内容

式 $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式に $x^2$ を足して引き、平方完成の形にします。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$= (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは差の二乗の形なので、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$

整理すると、

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

## 50 (1) の問題

1. 問題の内容

式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$A = a - b$, $B = b - c$, $C = c - a$ とおくと、$A + B + C = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ となります。

$A + B + C = 0$ のとき、$A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$ が成り立ちます。

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

となります。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$