与えられた二次関数 $y = f(x) = x^2 - (a-1)x + 2a - 4$ の区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = f(x) = x^2 - (a-1)x + 2a - 4$ の区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - (a-1)x + 2a - 4$

$y = (x - \frac{a-1}{2})^2 - (\frac{a-1}{2})^2 + 2a - 4$

$y = (x - \frac{a-1}{2})^2 - \frac{a^2 - 2a + 1}{4} + \frac{8a - 16}{4}$

$y = (x - \frac{a-1}{2})^2 - \frac{a^2 - 10a + 17}{4}$

この関数の軸は $x = \frac{a-1}{2}$ です。区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値は、軸の位置によって変わります。

場合分けは以下のようになります。

(1) $\frac{a-1}{2} < -2$ つまり $a < -3$ のとき、区間内で関数は単調増加なので、$x = -2$ で最小値、$x = 4$ で最大値をとります。

最小値：$f(-2) = (-2)^2 - (a-1)(-2) + 2a - 4 = 4 + 2a - 2 + 2a - 4 = 4a - 2$

最大値：$f(4) = 4^2 - (a-1)(4) + 2a - 4 = 16 - 4a + 4 + 2a - 4 = -2a + 16$

(2) $-2 \le \frac{a-1}{2} \le 4$ つまり $-3 \le a \le 9$ のとき、頂点で最小値をとります。

最小値：$- \frac{a^2 - 10a + 17}{4}$

最大値：$f(-2)$ と $f(4)$ を比較します。軸が区間の中央に近いほど、頂点から遠い端点で最大値をとります。

$\frac{a-1}{2}$ と $\frac{-2+4}{2} = 1$ の大小を比較します。$\frac{a-1}{2} - 1 = \frac{a-3}{2}$ より、

(2-1) $-3 \le a < 3$ のとき、$f(4) > f(-2)$ となるため、最大値は $f(4) = -2a + 16$

(2-2) $a = 3$ のとき、$f(4) = f(-2)$ となるため、最大値は $f(4) = f(-2) = 10$

(2-3) $3 < a \le 9$ のとき、$f(-2) > f(4)$ となるため、最大値は $f(-2) = 4a - 2$

(3) $\frac{a-1}{2} > 4$ つまり $a > 9$ のとき、区間内で関数は単調減少なので、$x = 4$ で最小値、$x = -2$ で最大値をとります。

最小値：$f(4) = -2a + 16$

最大値：$f(-2) = 4a - 2$

最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小值 |

| ----------- | ----------- | ----------- |

| $a < -3$ | $-2a + 16$ | $4a - 2$ |

| $-3 \le a < 3$ | $-2a+16$ | $-\frac{a^2 - 10a + 17}{4}$ |

| $a = 3$ | $10$ | $-\frac{a^2 - 10a + 17}{4}$ = $-\frac{9-30+17}{4} = -\frac{-4}{4} = 1$ |

| $3 < a \le 9$ | $4a-2$ | $-\frac{a^2 - 10a + 17}{4}$ |

| $a > 9$ | $4a - 2$ | $-2a + 16$ |