与えられた式 $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの括弧を展開する。

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

これは、$x^2 + y^2$をAと置くと、$(A + xy)(A - xy)$の形である。

よって、$A^2 - (xy)^2$となる。Aを元に戻すと、

$(x^2 + y^2)^2 - x^2y^2$

$= (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$

$= x^4 + x^2y^2 + y^4$

次に、この結果と最後の括弧を展開する。

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

これは、$x^4 + y^4$をBと置くと、$(B + x^2y^2)(B - x^2y^2)$の形である。

よって、$B^2 - (x^2y^2)^2$となる。Bを元に戻すと、

$(x^4 + y^4)^2 - x^4y^4$

$= (x^8 + 2x^4y^4 + y^8) - x^4y^4$

$= x^8 + x^4y^4 + y^8$

3. 最終的な答え

$x^8 + x^4y^4 + y^8$