問題は次の2つの不等式を解くことです。 (1) $|x-4| < 3x$ (2) $|x-1| + 2|x-3| \leq 11$

1. 問題の内容

問題は次の2つの不等式を解くことです。

(1) $|x-4| < 3x$

(2) $|x-1| + 2|x-3| \leq 11$

2. 解き方の手順

(1) $|x-4| < 3x$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x \geq 4$ のとき、 $x-4 < 3x$ となり、$-4 < 2x$、つまり $x > -2$ となります。$x \geq 4$ と $x > -2$ の共通範囲は $x \geq 4$ となります。

(ii) $x < 4$ のとき、$-(x-4) < 3x$ となり、$-x+4 < 3x$、つまり $4 < 4x$、つまり $x > 1$ となります。$x < 4$ と $x > 1$ の共通範囲は $1 < x < 4$ となります。

(i), (ii) より、$x \geq 4$ または $1 < x < 4$ であるため、$x > 1$ が解となります。

ただし、$3x > 0$ である必要があるので、$x > 0$ でなければなりません。

したがって、解は $x > 1$ となります。

(2) $|x-1| + 2|x-3| \leq 11$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x < 1$ のとき、$-(x-1) - 2(x-3) \leq 11$ となり、$-x+1 -2x+6 \leq 11$、つまり $-3x+7 \leq 11$、つまり $-3x \leq 4$、つまり $x \geq -\frac{4}{3}$ となります。$x < 1$ と $x \geq -\frac{4}{3}$ の共通範囲は $-\frac{4}{3} \leq x < 1$ となります。

(ii) $1 \leq x < 3$ のとき、$(x-1) - 2(x-3) \leq 11$ となり、$x-1 -2x+6 \leq 11$、つまり $-x+5 \leq 11$、つまり $-x \leq 6$、つまり $x \geq -6$ となります。$1 \leq x < 3$ と $x \geq -6$ の共通範囲は $1 \leq x < 3$ となります。

(iii) $x \geq 3$ のとき、$(x-1) + 2(x-3) \leq 11$ となり、$x-1 +2x-6 \leq 11$、つまり $3x-7 \leq 11$、つまり $3x \leq 18$、つまり $x \leq 6$ となります。$x \geq 3$ と $x \leq 6$ の共通範囲は $3 \leq x \leq 6$ となります。

(i), (ii), (iii) より、$-\frac{4}{3} \leq x < 1$ または $1 \leq x < 3$ または $3 \leq x \leq 6$ であるため、$-\frac{4}{3} \leq x \leq 6$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$

(2) $-\frac{4}{3} \leq x \leq 6$