以下の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 - 13x^2 - 48$ (2) $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ (3) $8x^3 + 1$ (4) $64x^3 - 27$

1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 - 13x^2 - 48$

(2) $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$

(3) $8x^3 + 1$

(4) $64x^3 - 27$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 13x^2 - 48$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 13t - 48$ となる。

$(t - 16)(t + 3)$

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 16)(x^2 + 3)$

$(x - 4)(x + 4)(x^2 + 3)$

(2) $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$

$a^2 = u$, $b^2 = v$ とおくと、$4u^2 - 25uv + 36v^2$ となる。

$(4u - 9v)(u - 4v)$

$u$ を $a^2$, $v$ を $b^2$ に戻すと、$(4a^2 - 9b^2)(a^2 - 4b^2)$

$(2a - 3b)(2a + 3b)(a - 2b)(a + 2b)$

(3) $8x^3 + 1$

$(2x)^3 + 1^3$ の形であるため、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いる。

$(2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2)$

$(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(4) $64x^3 - 27$

$(4x)^3 - 3^3$ の形であるため、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いる。

$(4x - 3)((4x)^2 + (4x)(3) + 3^2)$

$(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)(x + 4)(x^2 + 3)$

(2) $(2a - 3b)(2a + 3b)(a - 2b)(a + 2b)$

(3) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(4) $(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9)$