$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2+i$ が解であることから、方程式に代入する。

$$(2+i)^3 - 3(2+i)^2 + a(2+i) + b = 0$$

$(2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$

$(2+i)^3 = (2+i)(3+4i) = 6 + 8i + 3i - 4 = 2 + 11i$

よって、

$$2 + 11i - 3(3+4i) + a(2+i) + b = 0$$

$$2 + 11i - 9 - 12i + 2a + ai + b = 0$$

$$(2 - 9 + 2a + b) + (11 - 12 + a)i = 0$$

$$(-7 + 2a + b) + (a - 1)i = 0$$

$a, b$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ0になる。

$$-7 + 2a + b = 0$$

$$a - 1 = 0$$

(2) $a$ を求める。

$a - 1 = 0$ より $a = 1$

(3) $b$ を求める。

$-7 + 2a + b = 0$ に $a=1$ を代入すると、

$-7 + 2(1) + b = 0$

$-7 + 2 + b = 0$

$-5 + b = 0$

$b = 5$

(4) 他の解を求める。

$x^3 - 3x^2 + x + 5 = 0$

$2+i$ が解なので、$2-i$ も解である。

$(x - (2+i))(x-(2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2 - i^2 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$

$x^3 - 3x^2 + x + 5$ を $x^2 - 4x + 5$ で割ると

$x^3 - 3x^2 + x + 5 = (x^2 - 4x + 5)(x+1)$

よって、$(x^2 - 4x + 5)(x+1) = 0$

$x^2 - 4x + 5 = 0$ の解は $2+i, 2-i$

$x+1 = 0$ の解は $x=-1$

したがって、他の解は $-1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 5$

他の解： $-1$