与えられた5つの式を展開する問題です。 (1) $(a-b+c-d)(a+b-c-d)$ (2) $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$ (3) $(x-1)(x+1)(x^3+x^2+x+1)$ (4) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ (5) $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開する問題です。

(1) $(a-b+c-d)(a+b-c-d)$

(2) $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

(3) $(x-1)(x+1)(x^3+x^2+x+1)$

(4) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

(5) $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b+c-d)(a+b-c-d)$

$(a-d-(b-c))(a-d+(b-c))$と変形します。

$(a-d)^2 - (b-c)^2$

$= a^2 -2ad + d^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$

$= a^2 - b^2 - c^2 + d^2 - 2ad + 2bc$

(2) $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

$(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)(x^4-x^2y^2+y^4)$

$((x^2+y^2)^2 - (xy)^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

$(x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

$((x^4 + y^4) + x^2y^2)((x^4 + y^4) - x^2y^2)$

$(x^4 + y^4)^2 - (x^2y^2)^2$

$x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - x^4y^4$

$x^8 + x^4y^4 + y^8$

(3) $(x-1)(x+1)(x^3+x^2+x+1)$

$(x^2-1)(x^3+x^2+x+1)$

$x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - x^3 - x^2 - x - 1$

$x^5 + x^4 - x - 1$

(4) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$a^3+b^3+c^3-3abc$の公式を利用します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(5) $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

$(a+b+c)(a+b-c)$を先に計算します。

$((a+b)+c)((a+b)-c) = (a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

次に、$(a-b+c)(-a+b+c)$を計算します。

$(c + (a-b))(c - (a-b)) = c^2 - (a-b)^2 = c^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = c^2 - a^2 + 2ab - b^2$

したがって、

$(a^2 + 2ab + b^2 - c^2)(c^2 - a^2 + 2ab - b^2)$

$(2ab + (a^2 + b^2 - c^2))(2ab - (a^2 + b^2 - c^2))$

$(2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2$

$4a^2b^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2)$

$4a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$

$-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2$

$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - b^2 - c^2 + d^2 - 2ad + 2bc$

(2) $x^8 + x^4y^4 + y^8$

(3) $x^5 + x^4 - x - 1$

(4) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(5) $2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4$