問題は2つあります。 (1) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を展開すること。 (2) $(x-b)(x-c)(b-c) + (x-c)(x-a)(c-a) + (x-a)(x-b)(a-b)$ を展開して簡単にすること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を展開すること。

(2) $(x-b)(x-c)(b-c) + (x-c)(x-a)(c-a) + (x-a)(x-b)(a-b)$ を展開して簡単にすること。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + y^2$ を $A$ とおくと、式は $(A + xy)(A - xy)$ となります。

これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$

(2)

式を展開します。

$(x-b)(x-c)(b-c) + (x-c)(x-a)(c-a) + (x-a)(x-b)(a-b) = (x^2-(b+c)x+bc)(b-c) + (x^2-(c+a)x+ca)(c-a) + (x^2-(a+b)x+ab)(a-b)$

$= x^2(b-c) - (b+c)x(b-c) + bc(b-c) + x^2(c-a) - (c+a)x(c-a) + ca(c-a) + x^2(a-b) - (a+b)x(a-b) + ab(a-b)$

$= x^2(b-c+c-a+a-b) - x((b^2-c^2)+(c^2-a^2)+(a^2-b^2)) + (bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b))$

$= x^2(0) - x(0) + (bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b))$

$bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b) = bc(b-c) + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 = b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

$= -b^2(a-c) + b(a^2 - c^2) - ac(a-c) = -b^2(a-c) + b(a-c)(a+c) - ac(a-c) = (a-c)(-b^2+b(a+c)-ac)$

$= (a-c)(-b^2+ab+bc-ac) = (a-c)[b(a-b)-c(a-b)]=(a-c)(a-b)(b-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

元の式に戻って確認すると

$bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + x^2y^2 + y^4$

(2) 0