媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の関係式を求めます。 $x = \frac{2}{t} - 1$, $y = 2t + 1$

いくつか問題があるようなので、一つずつ解いていきます。

**問題 (3)**

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の関係式を求めます。

$x = \frac{2}{t} - 1$, $y = 2t + 1$

2. 解き方の手順

まず、$x$ の式から $t$ を求めます。

$x = \frac{2}{t} - 1$ より、

$x + 1 = \frac{2}{t}$

$t = \frac{2}{x + 1}$

次に、$y$ の式に $t$ を代入します。

$y = 2t + 1$

$y = 2 \cdot \frac{2}{x + 1} + 1$

$y = \frac{4}{x + 1} + 1$

$y = \frac{4 + x + 1}{x + 1}$

$y = \frac{x + 5}{x + 1}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{x + 5}{x + 1}$

**問題 (6)**

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の関係式を求めます。

$x = 2t$, $y = \frac{4}{3}t^2$

2. 解き方の手順

まず、$x$ の式から $t$ を求めます。

$x = 2t$ より、

$t = \frac{x}{2}$

次に、$y$ の式に $t$ を代入します。

$y = \frac{4}{3}t^2$

$y = \frac{4}{3} (\frac{x}{2})^2$

$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^2}{4}$

$y = \frac{x^2}{3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{x^2}{3}$

**問題 (8)**

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ で表された $x$ と $y$ の関係式を求めます。

$x = 3\cos\theta - 2$, $y = 3\sin\theta + 3$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $\cos\theta$ と $\sin\theta$ を求めます。

$x = 3\cos\theta - 2$ より、

$\cos\theta = \frac{x + 2}{3}$

$y = 3\sin\theta + 3$ より、

$\sin\theta = \frac{y - 3}{3}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて、

$(\frac{y - 3}{3})^2 + (\frac{x + 2}{3})^2 = 1$

$\frac{(y - 3)^2}{9} + \frac{(x + 2)^2}{9} = 1$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

3. 最終的な答え

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

**問題 (9)**

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の関係式を求めます。ただし、$a < b$, $a \neq b$, $a \neq 0$。

$x = a\cos t$, $y = b\sin t$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $\cos t$ と $\sin t$ を求めます。

$x = a\cos t$ より、

$\cos t = \frac{x}{a}$

$y = b\sin t$ より、

$\sin t = \frac{y}{b}$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ を用いて、

$(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1$

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$