問題は、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開して整理することです。

1. 問題の内容

問題は、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開して整理することです。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$ を展開します。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

次に、この式を因数分解できるか検討します。この式は対称式であることに注目します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$