(1) 2次方程式 $8x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha + \alpha\beta + \beta$の値を求める。 (2) $x^3 + 5x^2 - 4x - 7$ を $x+1$ で割ったときの余りを求める。 (3) 点 $(1, 3)$ と直線 $x - ay = 0$ の距離を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $8x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha + \alpha\beta + \beta$の値を求める。

(2) $x^3 + 5x^2 - 4x - 7$ を $x+1$ で割ったときの余りを求める。

(3) 点 $(1, 3)$ と直線 $x - ay = 0$ の距離を求める。

2. 解き方の手順

(1)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{1}{8}$

$\alpha \beta = \frac{3}{8}$

したがって、

$\alpha + \alpha\beta + \beta = (\alpha + \beta) + \alpha\beta = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

(2)

剰余の定理より、$x^3 + 5x^2 - 4x - 7$ を $x+1$ で割った余りは、

$(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4(-1) - 7 = -1 + 5 + 4 - 7 = 1$

(3)

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の問題では、$(x_0, y_0) = (1, 3)$ であり、直線は $x - ay = 0$ 、つまり $x - ay + 0 = 0$ であるから、$a=1$, $b=-a$, $c=0$ である。

したがって、

$d = \frac{|1(1) - a(3) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-a)^2}} = \frac{|1 - 3a|}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $1$

(3) $\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$