正の定数 $a, b$ に対し、$f(x) = ax^2 - b$ とおく。 (1) $f(f(x)) - x$ は $f(x) - x$ で割り切れることを示す。 (2) 方程式 $f(f(x)) - x = 0$ が異なる4つの実数解をもつための $a, b$ の条件を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a, b$ に対し、$f(x) = ax^2 - b$ とおく。

(1) $f(f(x)) - x$ は $f(x) - x$ で割り切れることを示す。

(2) 方程式 $f(f(x)) - x = 0$ が異なる4つの実数解をもつための $a, b$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(f(x)) - x$ を計算する。

$f(f(x)) = a(f(x))^2 - b = a(ax^2 - b)^2 - b = a(a^2x^4 - 2abx^2 + b^2) - b = a^3x^4 - 2a^2bx^2 + ab^2 - b$

したがって、

$f(f(x)) - x = a^3x^4 - 2a^2bx^2 - x + ab^2 - b$

一方、$f(x) - x = ax^2 - x - b$

ここで、因数定理を利用する。

$f(f(x))-x=0$ かつ $f(x)-x=0$ が成り立つとき、$f(f(x))-x$ は $f(x)-x$ で割り切れる。

$f(x) = x$ とすると、$f(f(x)) = f(x) = x$

よって、$f(f(x)) - x = x - x = 0$

したがって、$f(f(x)) - x$ は $f(x) - x$ で割り切れる。

(2) $f(f(x)) - x = 0$ が異なる4つの実数解を持つ条件を求める。

$f(f(x)) - x = (f(x) - x)(a^2x^2 + ax + a b + a x + x + 1)=0$

$f(x) - x = 0$ つまり、$ax^2 - x - b = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = (-1)^2 - 4(a)(-b) = 1 + 4ab > 0$

$a, b > 0$ より、$1 + 4ab > 0$ は常に成り立つ。

また、$a^2x^2 + ax + a b + a x + x + 1 = 0$ つまり、$a^2x^2 + a x + a x^2+x+a b- b = 0$

$(ax - \frac{x-1}{2}) = a x + \sqrt(D) /2a$

$f(x) = x$ の解を $\alpha, \beta$ とする。

$ax^2 - x - b = 0$ の解 $\alpha, \beta$ が、$a^2 x^2 + a x + a b - b=0$ の解と異なる必要があり、

また、$a^2 x^2 + a x + a b = (a x - \beta)$

$g(x) = f(x) - x$, $h(x)= a^2x^2 + ax + a b - b$ とおく。

異なる4つの実数解をもつには $g(x)=0$ が異なる2つの実数解 $\alpha_1, \alpha_2$ を持ち、$h(x)=0$ が異なる2つの実数解 $\alpha_3, \alpha_4$ を持ち、かつ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ がすべて異なる必要がある。

$h(x) = a(ax^2 + x) + b(a-1)$

$a(ax^2 + (1+ a)x + b(a+1)) + 10$

$D_2 = (a+1)^2-4a^2b > 0$

$f(\alpha_1)\neq \alpha_2$, $ax^2 + x +( ab+a-1) / a=1/ a -b$

3. 最終的な答え

(1) $f(f(x)) - x$ は $f(x) - x$ で割り切れる。

(2) $1+4ab>0$, $(a+1)^2-4a(ab-b/a=0$

$a+1 >\beta,1$, $a x + b /$

$a (ax^2 + ab =0$

ax+b)=2}$

$1+4ab>0$, \frac{(a-1)(1+a) >4(ab+b)

$(a+1)^2>4a^2 b$, $1/4ab>1/b$