$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$ $(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$ 元の式は、$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$ となります。

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1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。ここでは、問題47の(3)を扱います。

問題: $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解せよ。

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2. 解き方の手順

1. 式を整理するために、適切なペアを作って展開します。$(x-1)(x-7)$と$(x-3)(x-5)$のペアが適切です。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

元の式は、$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$ となります。

2. $x^2 - 8x = A$とおきます。

すると、式は $(A + 7)(A + 15) + 15$ となります。

3. 展開して整理します。

$(A + 7)(A + 15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

4. $A^2 + 22A + 120$ を因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

5. $A = x^2 - 8x$ を代入します。

$(A + 10)(A + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

6. $(x^2 - 8x + 12)$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

したがって、$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

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3. 最終的な答え

$(x - 2)(x - 6)(x^2 - 8x + 10)$